Олімпіада

6 клас

ВІДПОВІДІ

1.       Вася написав на дошці натуральне число. Петя помножив його на 3 і додав 2013. Чи могло вийти в Петі число із сумою цифр 2014?

Відповідь.Не могло.

Розв'язок.

Число із сумою цифр 2014 не ділиться на 3, а число яке отримав Петя має вид , тому ділиться на 3.

2.       Дана рівність З∙О∙Я=В∙І∙Д∙М∙І∙Н∙Н∙И∙Ц∙Я. Зоя змогла замінити кожну букву на відповідну цифру так, що рівність стала вірною. Яка цифра відповідає букві Я? (Різні букви відповідають різним цифрам, однакові – однаковим).

Відповідь. 0.

Розв'язок.

У рівності використано 10 різних букв, тому одна з них відповідає цифрі 0. Тоді один з добутків дорівнює нулю, тому й інший добуток дорівнює нулю, тобто цифра нуль повинна бути в обох частинах рівності. Я – єдина буква, яка є в обох частинах рівності.

3.       Сума трьох цілих чисел дорівнює 2014. Добуток цих трьох чисел парний чи непарний?

Відповідь. Добуток цих трьох чисел парний.

Розв'язок 1.

Розглянемо кілька випадків:

а) усі три числа парні. Тоді їх добуток парний.

б) усі три числа непарні. Але тоді їх сума непарна, що суперечить умові.

в) два числа парні, а  одне непарне. У цьому випадку також їх сума непарна, що суперечить умові.

г) два числа непарні, одне парне. Оскільки в добутку присутнє парне число, то добуток буде парним.

Розв'язок 2.

Добуток трьох цілих чисел непарний, тільки якщо непарні всі три числа. Але в цьому випадку й сума їх непарна, що суперечить умові. Виходить, що добуток завжди буде парним.

4.       За столом розсаджено 20 людей, кожен з яких є або лицарем або брехуном. Лицарі завжди кажуть правду, а брехуни завжди брешуть.

Кожний з них стверджує, що серед його сусідів по столу рівно один лицар. Скільки лицарів може бути за столом? Сусідами вважаються ті, що сидять ліворуч, праворуч або напроти.

Відповідь. 0.

Розв'язок.

Існує тільки один спосіб розміщення

                                                      

л л л л л л л л л л л л л л л л л л

5.       Відстань між двома машинами, що їдуть по шосе, дорівнює 200 км. Швидкості машин – 60км/год і 80км/год. Чому буде дорівнювати відстань між ними через 1 годину?

Відповідь. 60км, 180км, 220км, 340км.

Розв'язок.

Можливі чотири випадки:

1) машини їдуть назустріч одна одній: 200-(60+80)=60км,

2) машини їдуть у різні сторони: 200+(60+80)=340км,

3) машини їдуть в одну сторону, друга доганяє першу: 200+(60-80)=180км,

4) машини їдуть в одну сторону, друга спереду: 200+(80-60)=220км.